Вступ до математики

Автор: Єжи Топп

Видавництво Гданського університету

Це остання версія лекцій і вправ для студентів першого семестр математики та інформатики, проведений автором у Гданському університеті та Гданському технологічному університеті.

Зміст включає числення висловлювань та елементи логіки, числення множин, квантори, функції, відношення, степені множин і елементів булевої алгебри. З одного боку все подано інтуїтивно, а з іншого – досить коректно і формально. Надано докази майже всіх пред'явлених претензій. Більшість понять, властивостей і теорем проілюстровано прикладами та малюнками. Це повинно полегшити розуміння матеріалу, який відносно легкий, але багатий новими концепціями та формалізмами. Крім того, кожен розділ закінчується багатьма, здебільшого типовими, завданнями та тестом.

Щоб користуватися цим підручником, вам не потрібно знати математичні теорії. Саме елементарне знання викладеного матеріалу повинно полегшити учням читання наступних підручників, прослуховування інших математичних лекцій і вивчення нових теорій.

Зміст

ПЕРЕДМОВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Розділ 1. ЧИСЛЕННЯ РЕЧЕНЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Речення та формули речень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Логічні значення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Тавтології. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Екстенсійність функторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5. Логічний квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6. Правила логічного висновку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7. Методи доведення теорем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.8. Аналіз міркувань. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9. вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Розділ 2. КОЛЕКЦІЇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1. Що таке набір? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2. Принцип екстенсійності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3. Підмножини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4. Збиральні роботи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5. Декартовий добуток множин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6. Обчислення кванторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7. Узагальнена сума та узагальнений добуток сімейства множин. . . . . . . . . . 72

2.8. Тіло наборів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.9. Аксіоматика теорії множин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.10. вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Розділ 3. МАТЕМАТИЧНА ІНДУКЦІЯ

ТА РЕКУРСІЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1. Натуральні числа та математична індукція. . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2. Рекурсійне відношення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.3. вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Розділ 4. ФУНКЦІЇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1. Визначення функції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2. Властивості функції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3. Усічення та розширення функцій. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4. Арифметичні дії над функціями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5. Функціональний склад. . .